SEJARAH MATEMATIKA

Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut.  Artefak matematika yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 - 1 SM).

Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi.
Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi.

Penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya telah digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh Pythagoras.

Orang-orang Babilonia telah menemukan sistem bilangan sexagesimal yang kemudian berguna untuk melakukan perhitungan berkaitan dengan ilmu-ilmu perbintangan. Para astronom pada jaman Babilonia telah berusaha untuk memprediksi suatu kejadian dengan mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan dan titik kritis dalam siklus planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan visibilitas pertama dan terakhir). Mereka menemukan teknik untuk menghitung posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur, diukur relatif terhadap jalur gerakan jelas tahunan Matahari) dengan berturut-turut menambahkan istilah yang tepat dalam perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno disamping dikarenakan pengaruh dari Masopotamia dan Babilonia, tetapi juga dipengaruhi oleh konteks Mesir yang mempunyai aliran sungai yang lebar dan panjang yang menghidupi masyarakat Mesir dengan peradabannya. Persoalan hubungan kemasyarakatan muncul dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi keadaan alam yang dapat menimbulkan konflik diantara mereka, misalnya bagaimana menentukan batas wilayah, ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah banjir bandang terjadi yang mengakibatkan tanah mereka tertimbun lumpur hingga beberapa meter. Dari salah satu kasus inilah kemudian muncul gagasan atau ide tentang luas daerah, batas-batas dan bentuk-bentuknya. Maka pada jaman Mesir Kuno, Geometri telah tumbuh pesat sebagai cabang Matematika.

Dalam waktu relatif singkat (mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang dikembangkan oleh orang Babilonia dan Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang Yunani. Misal, Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu Yunani, tetapi kemudian ia menggunakan metode dari Mesopotamia dan mengadopsi gaya seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab pada abad pertengahan dan dari situ ke Eropa, di mana itu tetap menonjol dalam matematika astronomi selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari ini tetap ada dalam penggunaan menit dan detik untuk mengukur waktu dan sudut. Aspek dari matematika Babilonia yang telah sampai ke Yunani telah meningkatkan kualitas kerja matematika dengan tidak hanya percaya denganbentuk-bentuk fisiknya saja, melainan diperoleh kepercayaan melalui bukti-bukti matematika. Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yang sudal dikenal sejak jaman Babilonia yaitu sekitar seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara matematis oleh Pythagoras pada jaman Yunani Kuno.

Pada jaman Yunani Kuno, selama periode dari sekitar 600 SM sampai 300 SM , yang dikenal sebagai periode klasik matematika, matematika berubah dari fungsi praktis menjadi struktur yang koheren pengetahuan deduktif. Perubahan fokus dari pemecahan masalah praktis ke  pengetahuan tentang kebenaran matematis umum dan perkembangan obyek teori mengubah matematika ke dalam suatu disiplin ilmu. Orang Yunani menunjukkan kepedulian terhadap struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha untuk menemukan secara pasti

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan angka yang tertentu dengan skala yang sama yang berlaku untuk semua sisi-sisi segitiga tersebut.

Hal inilah yang kemudian dikenal dengan persoalan Incommensurability, yaitu adanya skala yang tidak sama agar diperoleh bilangan yang tertentu untuk sisi miringnya. Jika dipaksakan digunakan skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka menemukan bahwa panjang sisi miring bukanlah bilangan bulat melainkan bilangan irrasional.

Prestasi bangsa Yunani Kuno yang monumental adalah adanya karya Euclides tentang Geometri Aksiomatis. Sumber utama untuk merekonstruksi pra-Euclidean buku karya Euclides bernama Elemen (unsur-unsur), di mana  sebagian besar isinya masih relevan dan digunakan hingga saat kini. Element terdiri dari 13 jilid. Buku I berkaitan dengan kongruensi segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan hubungan daerah dari segitiga dan jajaran genjang; Buku II menetapkan kehimpunanaraan yang berhubungan dengan kotak, persegi panjang, dan segitiga; Buku III berisi sifat-sifat Lingkaran; dan Buku IV berisi tentang poligon dalam lingkaran. Sebagian besar isi dari Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, dan isi dari Buku IV dapat dikaitkan dengan Pythagoras, sehingga dapat dipahami bahwa buku Elemen ini memiliki sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V menguraikan sebuah teori umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak memerlukan pembatasan untuk besaran sepadan. Ini teori umum berasal dari Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI menggambarkan sifat bujursangkar dan generalisasi dari teori kongruensi pada Buku I.  Buku VII-IX berisi tentang apa yang oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori bilangan bulat. Ini mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan umum, dan bilangan prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik dan persegi (Buku VIII), dan hasil khusus, seperti faktorisasi bilangan prima yang unik ke dalam, keberadaan yang tidak terbatas jumlah bilangan prima, dan pembentukan "sempurna" angka, yaitu angka-angka yang sama dengan jumlah pembagi (Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus dan Buku VIII dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional dan berasal dari karya Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII membuktikan theorems pada rasio lingkaran, rasio bola, dan volume piramida dan kerucut.

Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat besar. Dari periode awal orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak dalam hal prosedur praktis tetapi sebagai disiplin teoritis berkomitmen untuk mengembangkan proposisi umum dan demonstrasi formal. Kisaran dan keragaman temuan mereka, terutama yang dari  abad SM-3, geometri  telah menjadi materi pelajaran selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun tradisi yang ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap dan cacat.
Peningkatan pesat dari matematika di abad ke-17 didasarkan sebagian pada pembaharuan terhadap matematika kuno dan matematika pada jaman Yunani. Mekanika dari Galileo dan perhitungan-perhitungan yang dibuat Kepler dan Cavalieri, merupakan inspirasi langsung bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang dilakukan oleh Apollonius dan Pappus dirangsang oleh pendekatan baru dalam geometri-misalnya, analitik yang dikembangkan oleh Descartes dan teori proyektif dari Desargues Girard.

Kebangkitan matematika pada abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf sebagai anti tesis abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus merupakan tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat jagat raya; dan sebagai gantinya dia mengutarakan ide bahwa bukanlah Bumi melainkan Mataharilah yang merupakan pusat tata surya, sedangkan Bumi mengelilinginya. Jaman kebangkitan ini kemudian dikenal sebagai Jaman Modern, yang ditandai dengan munculnya tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti Immanuel Kant, Rene Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.

ISTILAH DALAM EKONOMI 1

Kapitalis : seseorang yang memiliki barang-barang modal.
• Kartel : organisasi para produsen yang sepakat untuk menjadi satu penjual tunggal.
• Kapasitas: tingkat output yang berkaitan dengan total biaya rata-rata jangka pendek yang minimum.
• Komoditi : sesuatu yang dapat dipasarkan yang diproduksi untuk memenuhi kebutuhan.
• Keunggulan komparatif : kemampuan suatu negara untuk memproduksi komoditi tertentu dengan biaya oportunitas produk-produk lain yang lebih rendah dari pada Negara lain
• Komplemen : dua komoditi yang digunakan secara bersama sama satu sama lain
• Konsumerisme : suatu gerakan yang menonjolkan konflik antara kepentingan perusahaan dengan kepentingan umum
• Kurva Permintaan Agregat, Kurva AD:menghubungkan jumlah total output yang akan diminta dengan tingkat.harga output itu.
• Kurva penawaran agregat, kurva AS : menghubungkan jumlah total output yang akan diproduksi dengan harga output itu.
• Kebijakn pertumbuhan berimbang : kebijakan yang dirangsang untuk menghasilkan pertumbuhan yang simultan. di semua sektor ekonomi.
• Konsumsi : tindakan menggunakan komoditi baik barang maupun jasa
• Kurva permintaan : grafik yang menggambarkan hubungan antara kuantitas komoditi tertentu yang akan dibeli selama periode waktu tertentu dengan harga komoditi tersebut
• Kebijakan fiscal bebas : kebijakan yang dikeluarkan untuk mengatasi setiap keadaan ekonomi yang khusus apabila terjadi
• Kondisi ekuilibrium : kondisi yang harus dipenuhi jika pasar atau sector ekonomi berada pada keadaan ekuilibrium
• Kebijakan fiscal : penggunaan kegiatan menaikan pendapatan dan kegiatan pengeluaran yang dilakukan pemerintah dalam usahanya mempengaruhi variable makro seperti GNP dan lapangan kerja
• Kuota impor : batas yang ditetapkan oleh pemerintah mengenai kuantitas komoditi asing yang masuk ke negeri itu selama periode tertentu
• Kebijakan pendapatan : setiap campur tangan langsung oleh pemerintah untuk mempengaruhi pembentukan upah dan tenaga kerja
• Kurva indeferen : kurva yang menggambarkan semua kombinasi dari 2 komoditi yang memberikan sejumlah keputusan yang sama
• Labor (tenaga kerja) : faktor produksi yang terdiri dari semua kontribusi fisik dan mental yang disediakan orang.
• Land (tanah) : faktor produksi yang terdiri dari semua pemberian alam, termasuk bahan mentah dan “tanah” itu sendiri menurut pengertian konvensionalnya.
• Legal Tender (alat pembayaran sah) : benda yang menurut hukum harus diterima sebagai alat untuk pembelian barang dan jasa atau untuk membayar hutang.
• Liquidity (likuiditas) : tingkat kemudahan dan kepastian sutu harta untuk dicairkan menjadi alat tukar dalam sistem ekonomi.
• Long Run (jangka panjang) : periode waktu di mana semua input bisa bervariasi tetapi teknologi produksi dasarnya tidak dapat diubah.
• Macroeconomics (makroekonomi) : studi tentang penentuan ekonomi agregat dan rata-rata, seperti total output, total kesempatan kerja, tingkat harga dan laju pertumbuhan ekonomi.
• Marginal Cost (MC, biaya marjinal) : kenaikan total biaya sebagai akibat peningkatan produksi 1unit barang. Secara sistematis; tingkat perubahan biaya yang berhubungan dengan output, disebut juga sebagai biaya inkremental.
• Marginal Product (MP, produk marjinal) : perubahan kuantitas total output yang diakibatkan oleh penggunaan tambahan 1unit faktor produksi. Secara sistematis; tingkat perubahan output yang berhungan dengan kuantitas faktor produksi, isebut juga produk inkremental atau produk fisik marjinal.
• Marginal Propensity to Consume (MPC, kecenderungan marjinal dalam mengkonsumsi) : perubahan konsumsi dibagi dengan perubahan pendapatan disposible; secara matematis, tingkat perubahan konsumsi yang berhubungan dengan pendapatan disposibel.
• Marginal Prospensity to Save (MPS, kecenderungan marjinal untuk menabung) : perubahan tabungan yang diakibatkan oleh perubahan dalam pendapatan disposibel; tingkat perubahan tabungan dibagi dengan pendapatan disposibel.

• Marginal Revenue (MR, penerimaan marjinal) : perubahan total penghasilan perusahaan yang diakibatkan oleh penambahan 1unit penjualan. Secara sistematis; tingkat perubahan penerimaan yang berhubungan dengan output, disebut juga penerimaan inkremental.
• Market (pasar) : tempat berlangsungnya negosiasi pertukaran komoditi, antara penjual dan pembeli.
• Market Failure (kegagalan pasar) : kegagalan sistem pasar bebas untuk mencapai efisiensi alokatif yang optimal atau untuk mencapai tujuan sosial, karena timbulnya eksternalitas, gangguan pasar atau ketidaksempurnaan pasar.
• Markup : jumlah yang ditambahkan pada biaya untuk menentukan harga.
• Microeconomic (mikroekonomi) : studi tentang alokasi sumber-sumber dan distribusi pendapatan yang keduanya dipengaruhi oleh bekerjanya sistem hanya serta kebijakn pemerintah.
• Minimum Wages (upah minimum) : tingkat minimum yang wajib dibayarkan kepada buruh/tenaga kerja dalam pekerjaan yang tercakup oleh ketentuan tersebut.
• Monetary Policy (kebijakan moneter) : tindakan untuk mempengaruhi perekonomian dengan mempergunakan beberapa variabel moneter, seperti kuantitas uang dan suku bunga.
• Money (uang) : setiap benda yang pada umumnya diterima sebagai alat pembayaran/pertukaran.
• Money Capital (modal uang) : dana yang digunakan untuk membiayai perusahaan, meliputi harta dan hutang.
• Money Supply (jumlah uang beredar) : total kuantitas uang dalam perekonomian pada satu waktu tertentu.
• Monopoly (monopoli) : situasi pasar yang output pasar industrinya dikontrol oleh penjual tunggal.
• Monopsony (monopsoni) : situasi pasar yang didalamnya hanya terdapat pembeli tunggal.
• National Debt (hutang nasional) : volume hutang pemerintah pusat yang sedang berjalan.
• National Income (pendapatan nasional) : secara umum, nilai total output dan nilai pendapatan yang ditimbulkan oleh produksi output tersebut.
• Normal Good (barang normal) : barang-barang yang mempunyai elastisitas pendapatan positif.
• Network Capital (modal kerja) : modal yang diinvestasikan dalam aktiva lancar.
• Oligopoly (oligopoli) : struktur pasar yang industrinya di dominasi oleh sejumlah kecil perusahaan yang saling bersaing.
• Open Market Operations (operasi pasar terbuka) : pembelian dan penjualan surat-surat berharga oleh bank sentral di pasar terbuka (seringkali dalam bentuk surat-surat berharga pemerintah jangka pendek).
• Opportunity Cost (biaya oportunitas) : biaya penggunaan sumber daya untuk tujuan tertentu, yang diukur oleh manfaat yang diberikan dari tidak digunakannya sumber-sumber tersebut dalam alternatif penggunaan yang paling baik.
• Outputs (keluaran) : barang-barang dan jasa yang dihasilkan dari proses produksi.
• Perfect Competition (persaingan sempurna) : struktur pasar di mana seluruh perusahaan dalam satu industry bersifat penerima harga (price taker) dan terdapat kebebasan untuk masuk dan keluar dari industri.
• Preferred Stock (saham preferen) : satu bentuk saham yang mempunyai keistimewaan dari saham biasa yaitu memperoleh jumlah maksimum deviden yang tetap; bisa melalui pemungutan suara atau tidak.
• Producer’s Surplus (surplus produsen) : perbedaan antara total penerimaan produsen dari semua unit komoditi yang terjual dengan total biaya variabel untuk memproduksi komoditi tersebut; dapat dihitung dengan mencari perbedaan antara biaya marjinal produksi dan penerimaan marjinal penjualan unit output tersebut.
• Production (produksi) : tindakan dalam membuat komoditi; baik barang maupun jasa.
• Productivity (produktivitas) : produksi output yang dihasilkan oleh setiap sumberdaya input; sering digunakan untuk menunjukkan produktivitas tenaga kerja yang diukur oleh output per jam kerja atau output per pekerja.
• Profit (keuntungan/laba) : dalam pemakaian umum, perbedaan antar nilai output dan nilai input
• Proxy (mandat) : suatu dokumen resmi dari pemegang saham yang memberikan wewenang kepada orang lain untuk memberikan hak suara dalam suatu rapat perusahaan.
• Pendapatan : peningkatan jumlah aktiva atau penurunan kewajiban yang timbul dalam periode akuntansi.
• Private Cost (biaya swasta) : nilai dari alternatif penggunaan sumber daya terbaik yang digunakan dalam produksi seperti yang di nilai produsen.
• Private Sector (sektor swasta) : bagian dari perekonomian yang aktifitas produksi barang dan jasanya dimiliki serta dilakukan oleh unit swasta, misalnya rumahtangga dan perusahaan.
• Quantity Exchange (kuantitas pertukaran) : jumlah komoditi yang dibeli rumahtangga sama dengan jumlah komoditi yang dijual oleh produsen pada periode waktu tertentu.
• Rate of Inflation (laju inflasi) : tingkat persentase kenaikan dalam beberapa indeks harga, dari satu periode ke periode lainnya.
• Rate of Return (tingkat hasil pengembalian) : rasio antara pengembalian modal yang diperoleh perusahaan terhadap total modal yang diinvestasikan.
• Regression Equation (persamaan regresi) : persamaan yang secara statistik menggambarkan penentuan tingkat kecocokan terbaik antara berbagai variabel atau perkiraan terbaik dari hubungan rata-rata antara variabel-variabel yang sedang diuji.
• Regresive Tax (pajak regresi) : pajak yang dikenakan dengan persentase yang semakin kecil bila tingkat pendapatan semakin tinggi.
• Relative Price (harga relatif) : rasio harga nominal suatu komoditi terhadap harga nominal komoditi lainnya yaitu rasio dari dua harga mutlak.
• Required Reserve (cadangan wajib) : jumlah minimum cadangan bank yang harus menurut ketentuan dipegang oleh bank, baik dalam bentuk uang kartal maupun dalam bentuk deposito di bank sentral.
• Return to Capital (pengembalian modal) : total pembayaran terhadap pemilik modal; penjumlahan dari hasil murni atas modal, premi risiko dan laba ekonomi.
• Risk Premium (premi risiko) : pengembalian terhadap modal yang diperlukan untuk mengkonpensasi risiko kehilangan modal.
• Rentabilitas Ekonomi : kemampuan perusahaan untuk menghasilkan laba dengan memanfaatkan seluruh modal yang dimiliki.
• Ratio Leverange : rasio laporan keuangan yang digunakan untuk mengukur sejauh mana aktiva perusahaan dibiayai hutang.
• Revenue Sharing : pengembalian dari penerimaan yang diperoleh pemerintah pusat ke pemerintah daerah, misalnya untuk sumbangan umum atau bantuan yang tidak ada kategorinya.
• Sample : jumlah yang kecil dari suatu hal yang dipilih dari kelompok atau populasi yang lebih besar, yang dapat mewakili kelompok besar tertentu.
• Saving (tabungan) : seluruh pendapatan disposibel yang tidak digunakan untuk konsumsi barang dan jasa.
• Scarce Good (barang langka) : suatu komoditi yang kuantitas permintaannyamelebihi kuantitas penawaran pada harga nol; dengan demikian komoditi ini mempunyai harga positif pada ekonomi pasar.
• Services (jasa-jasa) : komoditi tak berwujud, misalnya jasa potong rambut atau perawatan kesehatan.
• Short Run (jangka pendek) : suatu periode waktu pada saat kuantitas beberapa input tidak bisa bervariasi.
• Stockholders (pemegang saham) : para pemilik sebuah perusahaan yang memberikan dananya melalui pembelian saham-saham perusahaan tersebut.
• Stock market (bursa saham) : suatu pasar yang terorganisasi tempat saham serta obligasi dibeli dan dijual, disebut juga sebagai pasar surat berharga.
• Substitute (substitusi) : dua komoditi merupakan substitusi satu sama lain bila keduanya memenuhi kebutuhan atau keinginan yang sama; tingkat substitusi diukur oleh besarnya elastisitas silang positif antara kedua komoditi tersebut.