SARI KULIAH SOSPOL

NAMA WALI SONGO

TUJUAN PENDIDIKAN

SEJARAH MATEMATIKA

TUJUAN PENDIDIKAN

Pendidikan merupakan suatu proses yang panjang dan berlangsung terus menerus. Pendidikan juga memiliki tujuan sebagai titik tolak dalam perjalanannya. Materi ini akan meneragkan bagaimana batasan pendidikan menurut fungsinya, bagaimaan tujuan pendidikan, termasuk jenis-jenis evaluasi pendidikan

A.     PENGERTIAN DAN FUNGSI  PENDIDIKAN

Pendidikan, seperti sifat sasarannya yaitu manusia, mengandung banyak aspek dan sifatnya sangat kompleks. Karena sifatnya yang kompleks itu, maka tidak sebuah batasanpun yang cukup memadai untuk menjelaskan arti pendidikan secara lengkap. Dibawah ini dikemukakan beberapa batasan tentang pendidikan yang bebeda berdasarkan fungsinya.

1.      Pendidikan sebagai Proses Transformasi Budaya

Sebagai proses transformasi budaya, pendidikan diartikan sebagai kegiatan pewarisan budaya dari suatu generasi ke generasi lainnya. Nilai-nilai kebudayaan tersebut mengalami proses transformasi dari generasi tua ke generasi muda. Ada 3 bentuk transformasi yaitu nilai-nilai yang masih cocok diteruskan misalnya nilai-nilai kejujuran, rasa tanggungjawab dan lain-lain, yang kurang cocok diperbaiki misalnya tata cara perkawinan, dan tidak cocok diganti misalnya pendidikan seks yang dahulu ditabukan diganti dengan pendidikan seks melalui pendidikan formal.

Disini tampak bahwa,proses pewarisan budaya tidak semata-mata mengekalkan budaya secara estafet. Pendidikan justru mempunyai tugas kenyiapkan peserta didik untuk hari esok.

2.      Pendidikan sebagai Proses Pembentukan Pribadi

Sebagai proses pembentukan pribadi, pendidikan diartikan sebagai sutu kegiatan yang sistematis dan sitemik dan terarah kepada terbentuknya kepribadian peserta didik. Proses pembentukan pribadi meliputi dua sasaran yaitu pembentukan pribadi bagi mereka yang belum dewasa oleh mereka yang belum dewasa, dan bagi mereka yang sudah dewasa atas usaha sendiri. Yang terkhir disebut pendidikan diri sendiri.

3.      Pendidikan sebagai Proses Penyiapan warga Negara

Pendidikan sebagai penyiapan warga negara diartikan sebagai suatu kegiatan yang terencana untuk membekali peserta didik agar menjadi warga negara yang baik.

4.      Pendidikan sebagai Penyiapan Tenaga Kerja

Pendidkan sebagai penyiapan tenaga kerja diartikan sebagai kegiatan membimbing peserta didik sehingga memilki bekal dasar untuk bekerja. Pembekalan dasar berupa pembentukan sikap, pengetahuan, dan keterampilan kerja pada calon luaran.

5.      Definisi Pendidikan Menurut GBHN

GBHN 1988 (BP 7 Pusat, 1990:105) memberikan batasan tentang pendidikan nasional sebagai berikut: Pensisikan Nasional yang berakar pada kebudayaan bangsa Indonesia Pancasila serta Undang-Undang Dasar 1945 diarahkan untuk meningkatkan kecerdasan serta harkat dan martabat bangsa, mewujudkan manusia serta masyarakat Indonesia yang beriman dan bertakwa terhadap Tuhan Yang Maha Esa.

B.      MACAM-MACAM TUJUAN PENDIDIKAN.

Tujuan pendidikan memuat gambaran tentang nilai-nilai yang baik, luhur, pantas, benar, dan indah untuk kehidupan. Karena itu tujuan pendidikan memiliki dua fungsi yaitu memberikan arah kepada segenap kegiatan pendidikan dan merupakan sesuatu yang ingin dicapai oleh segenap kegiatan pendidikan.

Didalam praktek pendidikan khususnya pada sistem persekolahan, di dalam rentangan antara tujuan umum dan tujuan yang sangat khusus terdapat sejumlah tujuan antara. Tujuan antara berfungsi untuk menjembatani pencapaian tujuan umum dari sejumlah tujuan rincian khusus. Umumnya ada 4  jenjang tujuan di dalamnya terdapat tujuan antara , yaitu tujuan umum, tujuan instruksional, tujuan kurikuler, dan tujuan instruksional.

·         Tujuan umum pendidikan nasional Indonesia adalah Pancasila.

·         Tujuan institusional yaitu tujuan yang menjadi tugas dari lembaga pendidikan tertentu untuk mencapainya.

·         Tujuan kurikuler, yaitu tujuan bidang studi atau tujuan mata pelajaran.

·         Tujuan instruksional , tujuan pokok bahasan dan sub pokok bahasan disebut tujuan          instruksional, yaitu penguasaan materi pokok bahasan/sub pokok bahasan.

C.      Hasil Pendidikan dan Evaluasi

1.      Hasil Pendidikan

2.      Evaluasi

a.      Pengertian Evaluasi

Evaluasi adalah suatu tindakan untuk menentukan nilai sesuatu.

b.      Tujuan evaluasi

Menurut Sudirman N., dkk.,(1991: 242) tujuan evaluasi adalah

-       Mengambil keputusan tentang hasil belajar

-       Memahami anak didik

-       Memperbaiki dan mengembangkan program pengajaran.

c.       Fungsi evaluasi

Dilihat dari segi anak didik secara individual, evaluasi berfungsi :

-       Mengetahui tingkat pencapaian anak didik dalam suatu prosese belajar mengajar

-       Menetapkan keefektifan pengajaran dan rencana kegiatan.

-       Memberi basis laporan kemajuan anak didik.

-       Menghilangkan halangan – halangan atau memperbaiki kekeliruan yang terdapat sewaktu praktek.

Dilihat dari segi program pengajaran, evaluasi berfungsi :

-       Memberi dasar pertimbangan kenaikan dan promosi anak didik.

-       Memberi dasar penyusunan dan penempatan kelompok anak didik yang homogen.

-       Diagnosis dan remedial pekerjaan anak didik.

-       Memberi dasar pembimbingan dan penyuluhan.

-       Dasar pemberian angka dan rapor bagi kemajuan anak didik.

-       Memotivasi belajar anak didik.

-       Mengidentifikasi dan mengkaji kelainan anak didik.

-       Menafsirkan kegiatan sekolah ke dalam masyarakat.

-       Mengadministrasi sekolah.

-       Mengembangkan kurikulum.

-       Mempersiapkan penelitian pendidikan di sekolah.

d.      Jenis-jenis evaluasi

1.         Evaluasi Formatif

Evaluasi formatif adalah evaluasi yang dilaksanakan setiap kali selesai mempelajari suatu unit pelajaran tertentu. Hal – hal yang oerlu diperhatikan dal;am pemakaian evaluasi formati yaitu:

-       Penilaian dilakukan pada akhir setiap satuan pelajaran.

-       Penilaian formatif bertujuan mengetahui sejauh mana tujuan instruksional khusus (TIK) pada setiap satuan pelajaran yang telah tercapai.

-       Penilaian formatif dilakukan dengan mempergunakan tes hasil belajar, kuesioner, ataupun cara lainnya yang sesuai.

-       Siswa dinilai berhasil dalam penilaian formatif apabila mencapai taraf penguasaan sekurang-kurangnya 75% dari tujuan yang ingin dicapai.

2.         Evaluasi Subsumatif/sumatif

Evaluasi subsumatif adalah penilaian yang dilalsanakan setelah beberapa satuan pelajaran diselesaikan, dilakukan pada perempat atau temfah semester. Sedangkan evaluasi sumatif adalah penilaian yang dilaksanakan setiap akhir pengajaran atau suatu program atau sejumlah unit pelajaran tertentu. Evaluasi sumatif bermanfaat untuk menilai hasil pencapaian siswa terhadap tujuan suatu program pelajaran dalam suatu periode tertentu, seperti semester atau akhir tahun pelajaran. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pemakaian evaluasi sumatif :

-       Siswa dinilai berhasil dalam mata pelajaran tertentu selama satu semester apabila nilai rapor mata pelajaran tersebut sekurang-kurangnya 6 (enam).

-       Penilaian sumatif (subsumatif) dilakukan dengan mempergunakan tes hasil belajar, kuesioner ataupun cara lainnya yang sesuai dengan menilai ketiga ranah yakni kognitif, afektif, dan psikomotor.

-       Hasil penilaian sumatif (subsumatif) dinyatakan dalam skala nilai 0 – 10.

3.         Evaluasi Kokurikuler

Kegiatan kokurikuler adalah kegiatan yang dilakukan di luar jam pelajaran yang telah dijatahkan dalam struktur program, berupa penugasan-penugasan atau pekerjaan rumah yang menjadi pasangan kegiatan intrakurikuler.

Kegiatan intrakurikuler adalah kegiatan yang dilakukan di sekolah dengan penjatahan waktu sesuai dengan struktur program.

Evaluasi kokurikuler adalah kegiatan yang berhubungan dengan hal-hal berikut:

-       Penilaian kokurikuler terutama dilakukan terhadap hasil kegiatan kokurikuler yang antar lain berupa: kliping, lembar jawaban soal, laporan praktikum, karangan, kesimpulan atau ringkasan dari buku.

-       Penilaian kokurikuler dilakukan setelah nsiswa selesai mengerjakan setiap tugas yang diberikan.

-       Hasil penilaian kokurikuler dinyatakan dalam skala 0 – 10

-       Penilaian dapat dilakukan perorangan

-       Nilai kokurikuler diperhitungkan untuknilai rapor.

4.         Evaluasi Ekstrakurikuler

Kegiatan ekstrakurikuler adalah kegiatan diluar jam pelajaran, yang dilkukan di sekolah ataupun di luar sekolah. Kegiatan ini di maksudkan untuk memperluas pengetahuan siswa, mengenal hubungan antara berbagai mata pelajaran atau bidang pengembangan, menyalurkan bakat dan minat yang menunjang pencapaian tujuan instruksional.

e.      Jenis – jenis Alat Evaluasi

1.      Tes

·         Tes Tertulis

-       Tes bentuk uraian yaitu semua bentuk tes yang pertanyaannya membutuhkan jawaban dalam bentuk uraian.

-       Tes Bentuk Objektif yaitu semua bentuk tes yang mengfharuskan siswa memilih di antara kemungkinan – kemungkinan jawaban yang telah disediakan, memberi jawaban singkat, atau mengisi jawaban pada kolom titik-titik yang disediakan.

·         Tes Lisan (Oral tes

Tes lisan merupakan alat penilaian yang pelaksanaannya dilakukan dengan mengadakan tanya jawab secara langsung untuk mengetahui kemampuan

Kemampuan berupa proses berfikir siswa dalam memecahkan suatu masalah, mempertanggungjawbkan pendapat, penggunaan bahasa, dan penguasaan materi pelajaran.

·         Tes perbuatan (Ferformance Test)

Tes perbuatan adalah tes yang diberikan dalam bentuk tugas-tugas. Pelaksanaannya dalam bentuk penampilan atau perbuatan (praktek pengalaman lapangan, praktek lapangan kerja, praktek olah raga, praktek laboratorium, praltek kesenian, dan lain-laIn). Untuk melaksanakan tes perbuatan diperlukan dua jenis alat yaitu:

-          lembaran tugas (kerja) yang berisi deskripsi mengenai instruksi (petunjuk) yang jelas sehingga siswa mengetahui secara tepat apa yang harus dilakukan.

-          lembaran pengamatan yang digunakan untuk menilai tingkah laku siswa selama proses pelaksanaan tugas sampai kepada hasil yang dicapai.

2.      Nontes

Ditinjau dari pelaksanaannya nontes berupa:

·         Wawancara, yaitu komunikasi langsung antara yang mewawancarai dengan yang diwawancarai.

·         Pengamatan (observasi), pengamatan lansung. Contohnya yaitu:

·         Studi kasus ialah mempelajari individu dalam periode tertentu secar terus menerus untuk melihat perkembangannya.

·         Skala penilaian (rating scale), merupakan salah satu alat penilaian yang menggunakan skala yang telah disusun dari ujung yang negatif sampai kepada ujung yang positif sehingga pada skala tersebut penilai tinggal membubuhi tanda cek saja (V).

Inventory merupakan alat penilaian yang menggunakan daftar pertanyaan yang disertai alternatif jawaban sangat setuju (SS), setuju (S), tidak punya pendapat(TPP), tidak setuju (TS), sangat tidak setuju (STS).

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad Rohani HM. 2004. Pengelolaan Pengajaran. Jakarta: Rineka Cipta.

Arby, Sutan Santi dan syahrun, Syahmar. 1991/1992. Dasar-Dasar Kependidikan. Jakarta: Depdikbud

Arikunto, suharsimi. 1991. Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara.

Buchari Muchtar, 1980. Teknik-teknik Evaluasi dalam Pendidikan. Bandung: Jemmars.

Faisal Sanapiah & Hanafi Abdillah. 1983. Pendidikan Non-Formal. Surabaya. Usaha Nasional

Mudyahardjo Redja. 2001. Pengantar Pendidikan. Jakarta. PT RajaGrafindo Persada

Nasution S. 2003. Asas-Asas Kurikulum. Jakarta. PT Bumi Aksara

Purwanto, Ngalim. 2006. Ilmu Mendidik Teoritis dan Praktis. Jakarta: Remaja Rosda karya.

Sadulloh Uyoh. 2003. Pengantar Filsafat Pendidikan. Bandung. Alfabeta

Sahabudding. 1985. Pendidikan Non-Formal Suatu Pengantar Ke Dalam Pemahaman Konsep Dan Prinsip Pengembangan. Ujung Pandang. IKIP Ujung Pandang

Sudiyono, Anas, 1996. Pengantar evaluasi pendidikan. Jakarta: Raja Grafindo Persada.

Syah, Muhibbin. 2003. Psikologi Beajar. Jakarta: Raja Grafindo Persada.

Syahrun, Syahmiar. 1991. Dasar-dasar Kependidikan. Jakarta: Depdikbud.

Tirtarahardja Umar & S. L. La Silo. 2005. Pengantar Pendidikan. Jakarta. PT Rineka Cipta

FILSAFAT MATEMATIKA

Wilkins, DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat  beberapa definisi  tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan  penalarannya bersifat  deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas.  Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman.  Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini.  Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.

Hempel, CG, 2001, menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.

Hempel, CG, 2001, lebih lanjut menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunaniap istilah dari teori matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan himpunaniap proposisi teori secara logis deducible dari postulat, adalah sepenuhnya tepat. Perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan dalam pembuktian proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip dapat dinyatakan secara eksplisit ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika. Dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat didefinisikan dalam empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika.

Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa.

Di sisi lain, Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari operasi manusia dengan koleksi benda-benda kongkrit, namun tidak mungkin untuk memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan asli sudah yang stabil tentang dan terlepas dari sumber yaitu sebenarnya. Hubungan kuantitatif dari himpunanbenda-benda fisik dalam praktek manusia, dan mulai bekerja sebagai model mandiri yang kokoh. Menurut dia, sistem bilangan asli adalah idealisasi hubungan-hubungan kuantitatif; di mana orang memperolehnya dari pengalaman mereka dengan himpunan dan ekstrapolasi aturan ke himpunan yang jauh lebih besar (jutaan hal) dan dengan demikian situasi idealnya menjadi  nyata. Dia menegaskan bahwa proses idealisasi berakhir kokoh, tetap, dan mandiri , sementara  bangun-bangun fisiknya berubah. Sementara konsep matematika diperoleh dengancara melepaskan sebagian besar sifat-sifatnya kemudian untuk memikirkan sebagian kecil sifat-sifat tertentunya saja.  Hal demikian yang kemudian disebut sebagai abstraksi. Sementara sifat-sifat yang tersisa yang memang harus dipelajari, diasumsikan bahwa mereka mempunyai sifat yang sempurna; misal bahwa lurus adalah sempurna lurus, lancip adalah sempurna lancip, demikian himpunanerusnya. Yang demikian itulah yang kemudian dikenal sebagai idealisasi.

Peterson, I., 1998, menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang diberikan bisa benar atau salah. Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika.

Di sisi lain, ia menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.

Peterson, I., 1998, mencatat bahwa apa Hilbert berpendapat bahwa kita dapat memecahkan masalah jika kita cukup pintar dan bekerja cukup lama, dan matematikawan Gregory J. Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya dengan prinsip bahwa ada batas untuk apa matematika bisa dicapai. Namun, pada tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978) membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk setiap sistem logika yang terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah matematika yang hebat yang bekerja pada setiap hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa sistem matematika konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem.  Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan  menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada.

Chaitin membuktikan bahwa suatu prosedur tidak dapat menghasilkan hasil yang lebih kompleks dari pada prosedur itu sendiri, dengan kata lain, dia membuat teori bahwa wanita berbobot 1-pon tidak bisa melahirkan bayi berbobot 10-pon. Wanita berbobot 10 pon tidak bisa melahirkan bayi 100 pon, dst. Sebaliknya, Chaitin juga menunjukkan bahwa tidak mungkin membuat prosedur untuk membuktikan bahwa sejumlah kompleksitas bersifat acak, maka, sejauh bahwa pikiran manusia adalah sejenis komputer, mungkin ada jenis kompleksitas begitu mendalam dan halus yang akal kita tidak pernah bisa memahami nya; urutan apapun yang mungkin terletak pada kedalaman akan dapat diakses, dan selalu akan muncul untuk kita sebagai keacakan. Pada saat yang sama, membuktikan bahwa berurutan adalah acak juga dapat mengatasi kesulitan, tidak ada cara untuk memastikan bahwa kita tidak diabaikan. Peterson, I., 1998, menyatakan bahwa hasil Chaitin ini menunjukkan bahwa kita jauh lebih mungkin untuk menemukan keacakan dari ketertiban dalam domain  matematika tertentu; kompleksitas versin teorema Godel menyatakan bahwa meskipun hampir semua bilangan adalah acak, tidak ada sistem formal aksiomatis yang akan memungkinkan kita untuk membuktikan fakta ini.

Selanjutnya, Peterson, I., 1998, menyimpulkan bahwa pekerjaan Chaitin ini menunjukkan bahwa ada jumlah tak terbatas pernyataan matematika di mana seseorang dapat membuat, katakanlah, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, jadi tidak ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan tersebut benar atau salah dengan menggunakan aritmatika; dalam pandangan Chaitin ini, itu praktis sama dengan mengatakan bahwa struktur aritmatika adalah acak. Chaitin menyimpulkan bahwa struktur matematika adalah fakta matematis yang analog dengan hasil dari sebuah lemparan koin dan kita tidak pernah bisa benar-benar membuktikan secara logis apakah itu adalah benar, ia menambahkan bahwa dengan cara yang sama bahwa tidak mungkin untuk memprediksi saat yang tepat di mana seorang individu yang terkena radiasi atom mengalami peluruhan radioaktif. Matematika tak berdaya untuk menjawab pertanyaan tertentu, sedangkan fisikawan masih dapat membuat prediksi yang dapat diandalkan tentang rata-rata lebih dari besar dari atom, ahli matematika mungkin dalam beberapa kasus terbatas pada pendekatan yang sama; yang membuat matematika jauh lebih dari ilmu pengetahuan eksperimental.

Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara yang unik . Sistem yang lebih luas dari itu Peano postulat yang diperoleh masih belum lengkap dalam arti bahwa tidak setiap bilangan memiliki akar kuadrat, dan lebih umum, tidak setiap persamaan aljabar memiliki solusi dalam sistem; ini menunjukkan bahwa ekspansi lebih lanjut dari sistem bilangan dengan pengenalan bilangan real dan akhirnya kompleks. Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai dapat didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini dapat dibuktikan, sehingga akhirnya sistem besar matematika seperti di sini dibatasi bertumpu pada dasar yang sempit dari sistem Peano itu; setiap konsep matematika dapat didefinisikan dengan menggunakan tiga unsur primitif dari Peano, dan setiap proposisi matematika dapat disimpulkan dari lima postulat yang diperkaya oleh definisi dari non-primitif tersebut, langkah penyederhanaan, dalam banyak kasus, dengan cara tidak lebih dari prinsip-prinsip logika formal; bukti beberapa theorems tentang bilangan real, bagaimanapun, memerlukan satu asumsi yang biasanya tidak termasuk di antara yang terakhir dan ini adalah aksioma yang disebut pilihan di mana ia menyatakan bahwa terdapat himpunan-himpunan saling eksklusif, tidak ada yang kosong, ada setidaknya satu himpunan yang memiliki tepat satu elemen yang sama dengan masing-masing himpunan yang diberikan.

Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa berdasarkan prinsip dan aturan logika formal, isi semua matematika dapat diturunkan dari sistem sederhana Peano ini yaitu prestasi yang luar biasa dan sistematis, isi matematika dan penjelasan dasar-dasar yang validitas. Menurut dia, sistem Peano memungkinkan interpretasi yang berbeda, sedangkan dalam sehari-hari maupun dalam bahasa ilmiah, dapat dikembangkan untuk arti khusus untuk konsep aritmatika. Hempel bersikeras bahwa jika karena itu matematika adalah menjadi teori yang benar dari konsep-konsep matematika dalam arti yang dimaksudkan, tidak cukup untuk validasi untuk menunjukkan bahwa seluruh sistem adalah diturunkan dari Peano mendalilkan kecocokan definisi, melainkan, kita harus bertanya lebih jauh apakah postulat Peano sebenarnya benar ketika unsur primitif dipahami dalam arti sekedar sebagai kebiasaan. Jika definisi di sini ditandai secara hati-hati dan ditulis yaitu bahwa hal ini merupakan salah satu kasus di mana teknik-teknik simbolik, atau matematika, dan logika membuktikan bahwa definiens dari setiap satu dari mereka secara eksklusif mengandung istilah dari bidang logika murni.

Hempel, CG, 2001, menyatakan  bahwa sistem mandiri yang stabil tentang prinsip dasar adalah ciri khas dari teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau perangkat teknis pada dasarnya adalah sebuah model yang yang stabil tentang yang dapat diselidiki secara independen dari "aslinya "dan, dengan demikian, kemiripan model dan" asli "hanya menjadi terbatas, hanya model tersebut dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel berpikir bahwa setiap upaya untuk menyempurnakan model yaitu untuk mengubah definisi untuk mendapatkan kesamaan lebih dengan "asli", mengarah ke model baru yang harus tetap stabil, untuk memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu, teori-teori matematika adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus melakukannya jika kita bangun. Hempel menyatakan bahwa model matematika tidak terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan tetapi terlihat bahwa beberapa model dibangun dengan buruk, dalam arti korespondensi untuk "aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi berlangsung dengan sukses. Menurut dia, sejak model matematis didefinisikan dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian" nya sumber lagi. Satu dapat mengubah model atau memperoleh beberapa model baru tidak hanya untuk kepentingan korespondensi dengan sumber "asli", tetapi juga untuk percobaan belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai model dengan mudah yang tidak memiliki "sumber asli" nya, yaitu sebuah cabang matematika yang telah dikembangkan yang tidak memiliki dan tidak dapat memiliki aplikasi untuk masalah yang nyata.

Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian - premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya. Dia menyadari bahwa teori-teori matematika yang terbuka untuk gagasan-gagasan baru, dengan demikian, di Kalkulus setelah konsep kontinuitas terhubung maka berikut diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas, kondisi Lipschitz, dll dan semua ini tidak bertentangan dengan tesis tentang karakter aksioma, prinsip dan aturan inferensi, namun tidak memungkinkan "matematika bekerja"  dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap. Kemerling, G., 2002, menjelaskan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai mencurahkan perhatian terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena dua ribuan tahun logika Aristotelian tampak penjelasan yang lengkap dan final dari akal manusia, namun geometri Euclid juga tampaknya aman, sampai Lobachevsky dan Riemann menunjukkan bahwa konsepsi alternatif tidak hanya mungkin tetapi berguna dalam banyak aplikasi. Dia menyatakan bahwa upaya-upaya serupa untuk berpikir ulang struktur logika mulai akhir abad kesembilan belas di mana John Stuart Mill mencoba untuk mengembangkan sebuah rekening komprehensif pemikiran manusia yang difokuskan pada induktif daripada penalaran deduktif; bahkan penalaran matematika, John Stuart Mill seharusnya, dapat didasarkan pada pengamatan empiris. Kemerling summep up yang banyak filsuf dan matematikawan Namun, mengambil pendekatan yang berbeda.

Ia menjelaskan bahwa Logika adalah studi tentang kebenaran yang diperlukan dan metode sistematis untuk mengekspresikan dengan jelas dan rigourously menunjukkan kebenaran tersebut; logicism adalah teori filsafat tentang status kebenaran matematika, yakni, bahwa mereka secara logis diperlukan atau analitik. Disarankan bahwa untuk memahami logika pertama-tama perlu untuk memahami perbedaan penting antara proposisi kontingen, yang mungkin atau mungkin tidak benar, dan proposisi perlu, yang tidak bisa salah; logika adalah bukti untuk membangun, yang memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran proposisi terbukti. Logika dapat didefinisikan sebagai bersangkutan dengan metode untuk penalaran. Sistem logical kemudian formalisations satu metode yang tepat dan kebenaran logis adalah mereka dibuktikan dengan metode yang benar. Kebenaran-kebenaran matematika karena itu kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika adalah sama dalam semua kemungkinan dunia, karena mereka tidak tergantung pada keberadaan himpunan, hanya pada konsistensi anggapan bahwa himpunan yang dibutuhkan ada; sejak benar dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika harus logis diperlukan.

Shapiro, S., 2000, bersikeras bahwa, logika adalah cabang kedua matematika dan cabang filsafat; bahasa formal, sistem deduktif, dan model-teori semantik adalah objek matematika dan, dengan demikian, ahli logika yang tertarik pada mereka matematika sifat dan hubungan. Menurut Shapiro, logika adalah studi tentang penalaran yang benar, dan penalaran merupakan kegiatan, epistemis mental, dan karena itu menimbulkan pertanyaan mengenai relevansi filosofis aspek matematis dari logika; bagaimana deducibility dan validitas, sebagai properti bahasa formal, berhubungan dengan penalaran yang benar, apa hasil matematika dilaporkan di bawah ini ada hubungannya dengan masalah filosofis asli. Beberapa filsuf menyatakan bahwa kalimat deklaratif bahasa alam telah mendasari bentuk logis dan bahwa bentuk-bentuk yang ditampilkan oleh formula bahasa formal. WVO Quine menyatakan bahwa bahasa alam harus teratur, dibersihkan untuk pekerjaan ilmiah dan metafisik yang serius, salah sesuatu yg diinginkan perusahaan adalah bahwa struktur logis dalam bahasa diperintah harus transparan. Oleh karena itu, bahasa formal adalah model matematika dari bahasa alami, sebuah bahasa formal menampilkan fitur tertentu dari bahasa alam, atau idealisasi dari padanya, sementara mengabaikan atau menyederhanakan fitur lainnya. Shapiro menyatakan bahwa tujuan dari model matematika adalah untuk menjelaskan apa yang mereka model, tanpa mengklaim bahwa model tersebut akurat dalam semua hal atau bahwa model harus mengganti apa itu model.

Kemerling, G. 2002, menjelaskan bahwa titik puncak dari pendekatan baru untuk logika terletak pada kapasitasnya untuk menerangi sifat penalaran matematika, sedangkan kaum idealis berusaha untuk mengungkapkan hubungan internal dari realitas absolut dan pragmatis ditawarkan untuk memperhitungkan manusia Permintaan sebagai pola longgar investigasi, ahli logika baru berharap untuk menunjukkan bahwa hubungan paling signifikan antara dapat dipahami sebagai murni formal dan eksternal. Kemerling mencatat bahwa matematikawan seperti Richard Dedekind menyadari bahwa atas dasar ini dimungkinkan untuk membangun matematika tegas dengan alasan logis, sedangkan Giuseppe Peano telah menunjukkan pada 1889 bahwa semua aritmatika dapat dikurangi ke sistem aksiomatis dengan hati-hati dibatasi himpunan awal mendalilkan . Pada sisi lain, Frege segera berusaha untuk mengekspresikan mendalilkan dalam notasi simbolik temuannya sendiri, dan dengan 1913, Russell dan Whitehead telah menyelesaikanmonumental Principia Mathematica (1913), dengan tiga volume besar untuk bergerak dari sebuah aksioma logis saja melalui definisi nomor bukti bahwa "1 + 1 = 2." Kemerling menyatakan bahwa meskipun karya Gödel dibuat menghapus keterbatasan dari pendekatan ini, signifikansi bagi pemahaman kita tentang logika dan matematika tetap undimmed.

SEJARAH MATEMATIKA

Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut.  Artefak matematika yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 - 1 SM).

Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi.
Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi.

Penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya telah digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh Pythagoras.

Orang-orang Babilonia telah menemukan sistem bilangan sexagesimal yang kemudian berguna untuk melakukan perhitungan berkaitan dengan ilmu-ilmu perbintangan. Para astronom pada jaman Babilonia telah berusaha untuk memprediksi suatu kejadian dengan mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan dan titik kritis dalam siklus planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan visibilitas pertama dan terakhir). Mereka menemukan teknik untuk menghitung posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur, diukur relatif terhadap jalur gerakan jelas tahunan Matahari) dengan berturut-turut menambahkan istilah yang tepat dalam perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno disamping dikarenakan pengaruh dari Masopotamia dan Babilonia, tetapi juga dipengaruhi oleh konteks Mesir yang mempunyai aliran sungai yang lebar dan panjang yang menghidupi masyarakat Mesir dengan peradabannya. Persoalan hubungan kemasyarakatan muncul dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi keadaan alam yang dapat menimbulkan konflik diantara mereka, misalnya bagaimana menentukan batas wilayah, ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah banjir bandang terjadi yang mengakibatkan tanah mereka tertimbun lumpur hingga beberapa meter. Dari salah satu kasus inilah kemudian muncul gagasan atau ide tentang luas daerah, batas-batas dan bentuk-bentuknya. Maka pada jaman Mesir Kuno, Geometri telah tumbuh pesat sebagai cabang Matematika.

Dalam waktu relatif singkat (mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang dikembangkan oleh orang Babilonia dan Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang Yunani. Misal, Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu Yunani, tetapi kemudian ia menggunakan metode dari Mesopotamia dan mengadopsi gaya seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab pada abad pertengahan dan dari situ ke Eropa, di mana itu tetap menonjol dalam matematika astronomi selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari ini tetap ada dalam penggunaan menit dan detik untuk mengukur waktu dan sudut. Aspek dari matematika Babilonia yang telah sampai ke Yunani telah meningkatkan kualitas kerja matematika dengan tidak hanya percaya denganbentuk-bentuk fisiknya saja, melainan diperoleh kepercayaan melalui bukti-bukti matematika. Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yang sudal dikenal sejak jaman Babilonia yaitu sekitar seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara matematis oleh Pythagoras pada jaman Yunani Kuno.

Pada jaman Yunani Kuno, selama periode dari sekitar 600 SM sampai 300 SM , yang dikenal sebagai periode klasik matematika, matematika berubah dari fungsi praktis menjadi struktur yang koheren pengetahuan deduktif. Perubahan fokus dari pemecahan masalah praktis ke  pengetahuan tentang kebenaran matematis umum dan perkembangan obyek teori mengubah matematika ke dalam suatu disiplin ilmu. Orang Yunani menunjukkan kepedulian terhadap struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha untuk menemukan secara pasti

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan angka yang tertentu dengan skala yang sama yang berlaku untuk semua sisi-sisi segitiga tersebut.

Hal inilah yang kemudian dikenal dengan persoalan Incommensurability, yaitu adanya skala yang tidak sama agar diperoleh bilangan yang tertentu untuk sisi miringnya. Jika dipaksakan digunakan skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka menemukan bahwa panjang sisi miring bukanlah bilangan bulat melainkan bilangan irrasional.

Prestasi bangsa Yunani Kuno yang monumental adalah adanya karya Euclides tentang Geometri Aksiomatis. Sumber utama untuk merekonstruksi pra-Euclidean buku karya Euclides bernama Elemen (unsur-unsur), di mana  sebagian besar isinya masih relevan dan digunakan hingga saat kini. Element terdiri dari 13 jilid. Buku I berkaitan dengan kongruensi segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan hubungan daerah dari segitiga dan jajaran genjang; Buku II menetapkan kehimpunanaraan yang berhubungan dengan kotak, persegi panjang, dan segitiga; Buku III berisi sifat-sifat Lingkaran; dan Buku IV berisi tentang poligon dalam lingkaran. Sebagian besar isi dari Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, dan isi dari Buku IV dapat dikaitkan dengan Pythagoras, sehingga dapat dipahami bahwa buku Elemen ini memiliki sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V menguraikan sebuah teori umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak memerlukan pembatasan untuk besaran sepadan. Ini teori umum berasal dari Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI menggambarkan sifat bujursangkar dan generalisasi dari teori kongruensi pada Buku I.  Buku VII-IX berisi tentang apa yang oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori bilangan bulat. Ini mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan umum, dan bilangan prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik dan persegi (Buku VIII), dan hasil khusus, seperti faktorisasi bilangan prima yang unik ke dalam, keberadaan yang tidak terbatas jumlah bilangan prima, dan pembentukan "sempurna" angka, yaitu angka-angka yang sama dengan jumlah pembagi (Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus dan Buku VIII dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional dan berasal dari karya Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII membuktikan theorems pada rasio lingkaran, rasio bola, dan volume piramida dan kerucut.

Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat besar. Dari periode awal orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak dalam hal prosedur praktis tetapi sebagai disiplin teoritis berkomitmen untuk mengembangkan proposisi umum dan demonstrasi formal. Kisaran dan keragaman temuan mereka, terutama yang dari  abad SM-3, geometri  telah menjadi materi pelajaran selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun tradisi yang ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap dan cacat.
Peningkatan pesat dari matematika di abad ke-17 didasarkan sebagian pada pembaharuan terhadap matematika kuno dan matematika pada jaman Yunani. Mekanika dari Galileo dan perhitungan-perhitungan yang dibuat Kepler dan Cavalieri, merupakan inspirasi langsung bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang dilakukan oleh Apollonius dan Pappus dirangsang oleh pendekatan baru dalam geometri-misalnya, analitik yang dikembangkan oleh Descartes dan teori proyektif dari Desargues Girard.

Kebangkitan matematika pada abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf sebagai anti tesis abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus merupakan tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat jagat raya; dan sebagai gantinya dia mengutarakan ide bahwa bukanlah Bumi melainkan Mataharilah yang merupakan pusat tata surya, sedangkan Bumi mengelilinginya. Jaman kebangkitan ini kemudian dikenal sebagai Jaman Modern, yang ditandai dengan munculnya tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti Immanuel Kant, Rene Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.