FILSAFAT MATEMATIKA

Wilkins, DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat  beberapa definisi  tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan  penalarannya bersifat  deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas.  Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman.  Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini.  Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.

Hempel, CG, 2001, menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.

Hempel, CG, 2001, lebih lanjut menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunaniap istilah dari teori matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan himpunaniap proposisi teori secara logis deducible dari postulat, adalah sepenuhnya tepat. Perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan dalam pembuktian proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip dapat dinyatakan secara eksplisit ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika. Dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat didefinisikan dalam empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika.

Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa.

Di sisi lain, Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari operasi manusia dengan koleksi benda-benda kongkrit, namun tidak mungkin untuk memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan asli sudah yang stabil tentang dan terlepas dari sumber yaitu sebenarnya. Hubungan kuantitatif dari himpunanbenda-benda fisik dalam praktek manusia, dan mulai bekerja sebagai model mandiri yang kokoh. Menurut dia, sistem bilangan asli adalah idealisasi hubungan-hubungan kuantitatif; di mana orang memperolehnya dari pengalaman mereka dengan himpunan dan ekstrapolasi aturan ke himpunan yang jauh lebih besar (jutaan hal) dan dengan demikian situasi idealnya menjadi  nyata. Dia menegaskan bahwa proses idealisasi berakhir kokoh, tetap, dan mandiri , sementara  bangun-bangun fisiknya berubah. Sementara konsep matematika diperoleh dengancara melepaskan sebagian besar sifat-sifatnya kemudian untuk memikirkan sebagian kecil sifat-sifat tertentunya saja.  Hal demikian yang kemudian disebut sebagai abstraksi. Sementara sifat-sifat yang tersisa yang memang harus dipelajari, diasumsikan bahwa mereka mempunyai sifat yang sempurna; misal bahwa lurus adalah sempurna lurus, lancip adalah sempurna lancip, demikian himpunanerusnya. Yang demikian itulah yang kemudian dikenal sebagai idealisasi.

Peterson, I., 1998, menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang diberikan bisa benar atau salah. Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika.

Di sisi lain, ia menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.

Peterson, I., 1998, mencatat bahwa apa Hilbert berpendapat bahwa kita dapat memecahkan masalah jika kita cukup pintar dan bekerja cukup lama, dan matematikawan Gregory J. Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya dengan prinsip bahwa ada batas untuk apa matematika bisa dicapai. Namun, pada tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978) membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk setiap sistem logika yang terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah matematika yang hebat yang bekerja pada setiap hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa sistem matematika konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem.  Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan  menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada.

Chaitin membuktikan bahwa suatu prosedur tidak dapat menghasilkan hasil yang lebih kompleks dari pada prosedur itu sendiri, dengan kata lain, dia membuat teori bahwa wanita berbobot 1-pon tidak bisa melahirkan bayi berbobot 10-pon. Wanita berbobot 10 pon tidak bisa melahirkan bayi 100 pon, dst. Sebaliknya, Chaitin juga menunjukkan bahwa tidak mungkin membuat prosedur untuk membuktikan bahwa sejumlah kompleksitas bersifat acak, maka, sejauh bahwa pikiran manusia adalah sejenis komputer, mungkin ada jenis kompleksitas begitu mendalam dan halus yang akal kita tidak pernah bisa memahami nya; urutan apapun yang mungkin terletak pada kedalaman akan dapat diakses, dan selalu akan muncul untuk kita sebagai keacakan. Pada saat yang sama, membuktikan bahwa berurutan adalah acak juga dapat mengatasi kesulitan, tidak ada cara untuk memastikan bahwa kita tidak diabaikan. Peterson, I., 1998, menyatakan bahwa hasil Chaitin ini menunjukkan bahwa kita jauh lebih mungkin untuk menemukan keacakan dari ketertiban dalam domain  matematika tertentu; kompleksitas versin teorema Godel menyatakan bahwa meskipun hampir semua bilangan adalah acak, tidak ada sistem formal aksiomatis yang akan memungkinkan kita untuk membuktikan fakta ini.

Selanjutnya, Peterson, I., 1998, menyimpulkan bahwa pekerjaan Chaitin ini menunjukkan bahwa ada jumlah tak terbatas pernyataan matematika di mana seseorang dapat membuat, katakanlah, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, jadi tidak ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan tersebut benar atau salah dengan menggunakan aritmatika; dalam pandangan Chaitin ini, itu praktis sama dengan mengatakan bahwa struktur aritmatika adalah acak. Chaitin menyimpulkan bahwa struktur matematika adalah fakta matematis yang analog dengan hasil dari sebuah lemparan koin dan kita tidak pernah bisa benar-benar membuktikan secara logis apakah itu adalah benar, ia menambahkan bahwa dengan cara yang sama bahwa tidak mungkin untuk memprediksi saat yang tepat di mana seorang individu yang terkena radiasi atom mengalami peluruhan radioaktif. Matematika tak berdaya untuk menjawab pertanyaan tertentu, sedangkan fisikawan masih dapat membuat prediksi yang dapat diandalkan tentang rata-rata lebih dari besar dari atom, ahli matematika mungkin dalam beberapa kasus terbatas pada pendekatan yang sama; yang membuat matematika jauh lebih dari ilmu pengetahuan eksperimental.

Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara yang unik . Sistem yang lebih luas dari itu Peano postulat yang diperoleh masih belum lengkap dalam arti bahwa tidak setiap bilangan memiliki akar kuadrat, dan lebih umum, tidak setiap persamaan aljabar memiliki solusi dalam sistem; ini menunjukkan bahwa ekspansi lebih lanjut dari sistem bilangan dengan pengenalan bilangan real dan akhirnya kompleks. Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai dapat didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini dapat dibuktikan, sehingga akhirnya sistem besar matematika seperti di sini dibatasi bertumpu pada dasar yang sempit dari sistem Peano itu; setiap konsep matematika dapat didefinisikan dengan menggunakan tiga unsur primitif dari Peano, dan setiap proposisi matematika dapat disimpulkan dari lima postulat yang diperkaya oleh definisi dari non-primitif tersebut, langkah penyederhanaan, dalam banyak kasus, dengan cara tidak lebih dari prinsip-prinsip logika formal; bukti beberapa theorems tentang bilangan real, bagaimanapun, memerlukan satu asumsi yang biasanya tidak termasuk di antara yang terakhir dan ini adalah aksioma yang disebut pilihan di mana ia menyatakan bahwa terdapat himpunan-himpunan saling eksklusif, tidak ada yang kosong, ada setidaknya satu himpunan yang memiliki tepat satu elemen yang sama dengan masing-masing himpunan yang diberikan.

Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa berdasarkan prinsip dan aturan logika formal, isi semua matematika dapat diturunkan dari sistem sederhana Peano ini yaitu prestasi yang luar biasa dan sistematis, isi matematika dan penjelasan dasar-dasar yang validitas. Menurut dia, sistem Peano memungkinkan interpretasi yang berbeda, sedangkan dalam sehari-hari maupun dalam bahasa ilmiah, dapat dikembangkan untuk arti khusus untuk konsep aritmatika. Hempel bersikeras bahwa jika karena itu matematika adalah menjadi teori yang benar dari konsep-konsep matematika dalam arti yang dimaksudkan, tidak cukup untuk validasi untuk menunjukkan bahwa seluruh sistem adalah diturunkan dari Peano mendalilkan kecocokan definisi, melainkan, kita harus bertanya lebih jauh apakah postulat Peano sebenarnya benar ketika unsur primitif dipahami dalam arti sekedar sebagai kebiasaan. Jika definisi di sini ditandai secara hati-hati dan ditulis yaitu bahwa hal ini merupakan salah satu kasus di mana teknik-teknik simbolik, atau matematika, dan logika membuktikan bahwa definiens dari setiap satu dari mereka secara eksklusif mengandung istilah dari bidang logika murni.

Hempel, CG, 2001, menyatakan  bahwa sistem mandiri yang stabil tentang prinsip dasar adalah ciri khas dari teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau perangkat teknis pada dasarnya adalah sebuah model yang yang stabil tentang yang dapat diselidiki secara independen dari "aslinya "dan, dengan demikian, kemiripan model dan" asli "hanya menjadi terbatas, hanya model tersebut dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel berpikir bahwa setiap upaya untuk menyempurnakan model yaitu untuk mengubah definisi untuk mendapatkan kesamaan lebih dengan "asli", mengarah ke model baru yang harus tetap stabil, untuk memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu, teori-teori matematika adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus melakukannya jika kita bangun. Hempel menyatakan bahwa model matematika tidak terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan tetapi terlihat bahwa beberapa model dibangun dengan buruk, dalam arti korespondensi untuk "aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi berlangsung dengan sukses. Menurut dia, sejak model matematis didefinisikan dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian" nya sumber lagi. Satu dapat mengubah model atau memperoleh beberapa model baru tidak hanya untuk kepentingan korespondensi dengan sumber "asli", tetapi juga untuk percobaan belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai model dengan mudah yang tidak memiliki "sumber asli" nya, yaitu sebuah cabang matematika yang telah dikembangkan yang tidak memiliki dan tidak dapat memiliki aplikasi untuk masalah yang nyata.

Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian - premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya. Dia menyadari bahwa teori-teori matematika yang terbuka untuk gagasan-gagasan baru, dengan demikian, di Kalkulus setelah konsep kontinuitas terhubung maka berikut diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas, kondisi Lipschitz, dll dan semua ini tidak bertentangan dengan tesis tentang karakter aksioma, prinsip dan aturan inferensi, namun tidak memungkinkan "matematika bekerja"  dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap. Kemerling, G., 2002, menjelaskan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai mencurahkan perhatian terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena dua ribuan tahun logika Aristotelian tampak penjelasan yang lengkap dan final dari akal manusia, namun geometri Euclid juga tampaknya aman, sampai Lobachevsky dan Riemann menunjukkan bahwa konsepsi alternatif tidak hanya mungkin tetapi berguna dalam banyak aplikasi. Dia menyatakan bahwa upaya-upaya serupa untuk berpikir ulang struktur logika mulai akhir abad kesembilan belas di mana John Stuart Mill mencoba untuk mengembangkan sebuah rekening komprehensif pemikiran manusia yang difokuskan pada induktif daripada penalaran deduktif; bahkan penalaran matematika, John Stuart Mill seharusnya, dapat didasarkan pada pengamatan empiris. Kemerling summep up yang banyak filsuf dan matematikawan Namun, mengambil pendekatan yang berbeda.

Ia menjelaskan bahwa Logika adalah studi tentang kebenaran yang diperlukan dan metode sistematis untuk mengekspresikan dengan jelas dan rigourously menunjukkan kebenaran tersebut; logicism adalah teori filsafat tentang status kebenaran matematika, yakni, bahwa mereka secara logis diperlukan atau analitik. Disarankan bahwa untuk memahami logika pertama-tama perlu untuk memahami perbedaan penting antara proposisi kontingen, yang mungkin atau mungkin tidak benar, dan proposisi perlu, yang tidak bisa salah; logika adalah bukti untuk membangun, yang memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran proposisi terbukti. Logika dapat didefinisikan sebagai bersangkutan dengan metode untuk penalaran. Sistem logical kemudian formalisations satu metode yang tepat dan kebenaran logis adalah mereka dibuktikan dengan metode yang benar. Kebenaran-kebenaran matematika karena itu kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika adalah sama dalam semua kemungkinan dunia, karena mereka tidak tergantung pada keberadaan himpunan, hanya pada konsistensi anggapan bahwa himpunan yang dibutuhkan ada; sejak benar dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika harus logis diperlukan.

Shapiro, S., 2000, bersikeras bahwa, logika adalah cabang kedua matematika dan cabang filsafat; bahasa formal, sistem deduktif, dan model-teori semantik adalah objek matematika dan, dengan demikian, ahli logika yang tertarik pada mereka matematika sifat dan hubungan. Menurut Shapiro, logika adalah studi tentang penalaran yang benar, dan penalaran merupakan kegiatan, epistemis mental, dan karena itu menimbulkan pertanyaan mengenai relevansi filosofis aspek matematis dari logika; bagaimana deducibility dan validitas, sebagai properti bahasa formal, berhubungan dengan penalaran yang benar, apa hasil matematika dilaporkan di bawah ini ada hubungannya dengan masalah filosofis asli. Beberapa filsuf menyatakan bahwa kalimat deklaratif bahasa alam telah mendasari bentuk logis dan bahwa bentuk-bentuk yang ditampilkan oleh formula bahasa formal. WVO Quine menyatakan bahwa bahasa alam harus teratur, dibersihkan untuk pekerjaan ilmiah dan metafisik yang serius, salah sesuatu yg diinginkan perusahaan adalah bahwa struktur logis dalam bahasa diperintah harus transparan. Oleh karena itu, bahasa formal adalah model matematika dari bahasa alami, sebuah bahasa formal menampilkan fitur tertentu dari bahasa alam, atau idealisasi dari padanya, sementara mengabaikan atau menyederhanakan fitur lainnya. Shapiro menyatakan bahwa tujuan dari model matematika adalah untuk menjelaskan apa yang mereka model, tanpa mengklaim bahwa model tersebut akurat dalam semua hal atau bahwa model harus mengganti apa itu model.

Kemerling, G. 2002, menjelaskan bahwa titik puncak dari pendekatan baru untuk logika terletak pada kapasitasnya untuk menerangi sifat penalaran matematika, sedangkan kaum idealis berusaha untuk mengungkapkan hubungan internal dari realitas absolut dan pragmatis ditawarkan untuk memperhitungkan manusia Permintaan sebagai pola longgar investigasi, ahli logika baru berharap untuk menunjukkan bahwa hubungan paling signifikan antara dapat dipahami sebagai murni formal dan eksternal. Kemerling mencatat bahwa matematikawan seperti Richard Dedekind menyadari bahwa atas dasar ini dimungkinkan untuk membangun matematika tegas dengan alasan logis, sedangkan Giuseppe Peano telah menunjukkan pada 1889 bahwa semua aritmatika dapat dikurangi ke sistem aksiomatis dengan hati-hati dibatasi himpunan awal mendalilkan . Pada sisi lain, Frege segera berusaha untuk mengekspresikan mendalilkan dalam notasi simbolik temuannya sendiri, dan dengan 1913, Russell dan Whitehead telah menyelesaikanmonumental Principia Mathematica (1913), dengan tiga volume besar untuk bergerak dari sebuah aksioma logis saja melalui definisi nomor bukti bahwa "1 + 1 = 2." Kemerling menyatakan bahwa meskipun karya Gödel dibuat menghapus keterbatasan dari pendekatan ini, signifikansi bagi pemahaman kita tentang logika dan matematika tetap undimmed.